INVESTIGACION de OPERACIONES

Monday, October 09, 2006

UNIDAD 2 TEORÍA DE DECISIONES


2.1 Requisitos para la formulación de problemas de la teoría de decisiones

En economía y administración existen ciertos tipos de problemas en los que no es posible obtener muestras (información objetiva) para estimar ciertas características de la población. Es necesario recurrir a la información de una persona (información subjetiva).

La teoría de decisiones puede definirse como el análisis lógico y cuantitativo de todos los factores que afectan los resultados de una decisión en un mundo incierto.


Se resuelven según:

1) INFORMACION PERFECTA: Toma de decisiones en condiciones de certeza. Se conocen los datos (disponibilidad completa)

2) INFORMACION IMPERFECTA O PARCIAL : Dos situaciones :

a) Decisiones con Riesgo: Disponibilidad intermedia de datos. Los datos se representan a través de las funciones de probabilidad

b) Decisiones con Incertidumbre: No se disponen de datos :

b.1. No se conocen los datos y no puede determinarse una función de probabilidad

b.2. Si el decisor además tiene un oponente inteligente se formularán teorías de Juegos.

Observaciones:

- El propósito de la teoría de decisiones es incrementar la probabilidad de obtener buenos resultados en un mundo de incertidumbre.

- El “decisor” es el individuo o conjunto de individuos, que tiene la responsabilidad de comprometer o asignar recursos de una organización.

- La calidad de la decisión dependerá de si esta es no consistente con las alternativas, información y preferencias del decisor.


DECISIONES CON RIESGO

(*) Cuando las decisiones a futuro no dependen de lo que se tiene ahora: Evaluación de alternativas de una sola etapa.

Criterios :
a) Valor esperado
b) Valor esperado y Varianza combinados
c) Nivel de aceptación conocido
d) Ocurrencia mas probable de un estado futuro

(*) Evaluación de alternativas de múltiples etapas: Criterio del Árbol de decisión.

DECISIONES CON INCERTIDUMBRE

Los criterios se diferencian por el grado de “conservador “del decisor, esto es; según asuma una posición entre Optimista y Pesimista.

Criterios :
a) Laplace
b) Wald
c) Savage
d) Hurwicz


Supuesto para aplicar los criterios: El decisor no tiene un oponente inteligente. Se dice que la “naturaleza” es el oponente y que no existe razón para creer que la naturaleza se proponga provocar pérdidas al decisor.
Si existe un oponente inteligente, se aplicará otros criterios correspondientes a la teoría de juegos.

2.2 Términos de probabilidad
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.
Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.

Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).

Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles



2.3 Relaciones entre la independencia y la dependencia estadística
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección
Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).
Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:
Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:


P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.
La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:

Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.
P (A y B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.


2.4 Revisión de probabilidades
La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta aplicada a 100 familias de la ciudad de Tijuana, donde se relaciona el ingreso familiar con la compra de productos alimenticios especializados












Calcule las siguientes probabilidades:

a) probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora? 0.38

b) Probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora y tenga ingreso alto? 0.20

c) Si ya sabemos que es compradora calcule la probabilidad de que tenga ingresos altos? =20/40=0.5


2.5 Selección del criterio optimo

Criterio del Valor Esperado

Se busca maximizar el beneficio esperado (o minimizar el costo esperado). Se supone que el procedimiento de decisión se repite un número suficientemente grande de veces. La esperanza implica que la misma decisión debería repetirse un número suficientemente grande de veces antes de obtener el valor neto calculado por la fórmula de esperanza.

Si X es ganancia: Seleccionar la alternativa de valor Máx Suma xf(x)
Si X es pérdida: Seleccionar la alternativa de valor Mín Suma xf(x)

Ejemplo : Dada la información de unidades vendidas y sus respectivas
probabilidades :






El costo unitario es de 5 pesos y el precio de venta es de 10 pesos.

a) Elaborar la tabla de ganancias condicionales, considerando que las unidades no vendidas se descartan y se consideran como egresos.
b) Elaborar la tabla de ganancias esperadas. ¿Qué nivel de inventario recomendaría?

• Solución :

a) Tabla de Ganancias condicionales :



Cálculos :

( D , O )
( 25 , 25 ) = 25(10) – 25(5) = 125
( 25 , 26 ) = 25(10) – 25(5) - 1(5) = 120, se descarta una
( 25 , 27 ) = 25(10) – 25(5) - 2(5) = 115, se descartan dos
( 25 , 28 ) = 25(10) – 25(5) - 3(5) = 110, se descartan tres

(D, O )
( 26 , 25 ) = 25(10) – 25(5) = 125, Se vende lo que se oferta
( 26 , 26 ) = 26(10) – 26(5) = 130,
( 26 , 27 ) = 26(10) – 26(5) - 1(5) = 125, se descartan una
( 26 , 28 ) = 26(10) – 26(5) - 2(5) = 120, se descartan dos
.......................
( 28 , 27 ) = 27(10) – 27(5) = 135
( 28 , 28 ) = 28(10) – 28(5) = 140

b) Tabla de Ganancias Esperadas

25 26 27 28
25 26 27 28
Dem. Prob. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E
25
26
27
28 0.15
0.30
0.40
0.15 125
125
125
125 18.75
37.50
50.0
18.75 120
130
130
130 78
39
52
19.5 115
125
135
135 17.25
37.25
54.0
20.25 110
120
130
140 16.5
36.0
52.0
21.0
125.0 128.5 129.0 125.5

Dem. Probb. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E
25 0.15 125 18.75
26 0.30 125 37.50
27 0.40 125 50
28 0.15 125


50.0
18.75 120
130
130
130 78
39
52
19.5 115
125
135
135 17.25
37.25
54.0
20.25 110
120
130
140 16.5
36.0
52.0
21.0
125.0 128.5 129.0 125.5

La mayor ganancia esperada es 129. Por lo tanto se decidirá abastecer u ofertar 27 unidades.


MATRIZ DE PAGOS

La información utilizada al tomar decisiones con incertidumbre, se resume en una Matriz:

e1 e2 ...... en

a1 V(a1, e1) V(a1, e2) ...... V(a1, en)

a2 V(a2, e1) V(a2, e2) ...... V(a2, en)
..... ..................................................
am V(am, e1) V(am, e2) ...... V(am, en)


Donde : ai (i = 1,2,....,m): Representan las acciones posibles
Una acción representa una decisión posible

ej (j = 1,2,...n) : Representan los estados futuros posibles
Son los eventos futuros inciertos

V(ai, ej) : Representa el resultado asociado a cada acción y
estado futuro; el cual puede ser una ganancia o pérdida; resultado
de tomar la i-ésima acción cuando ocurre el j-ésimo estado.



Criterio de Laplace.

CRITERIO DE LAPLACE

Supuesto : Las probabilidades de ocurrencia de los estados futuros son Iguales:

P(e1) = P(e2) = ......... = P(en) = 1/n

Luego, si se asignan probabilidades (iguales), el problema de incertidumbre se convierte en uno de Riesgo.


Criterios :
n
* Si V(ai, ej) es ganancia; elegir ai : Max  1/n  V(ai, j)
ai j = 1

n
* Si V(ai, j) es pérdida ; elegir ai : Mín  1/n  V(ai, j)
ai j = 1



CRITERIO DE WALD (Minimax-Maximin)

Supuesto : Está basado en lograr “lo mejor de las peores condiciones
posibles” . Es el criterio más conservador.

Criterios :

* Si V(ai, j) es ganancia , la menor ganancia será el valor mín V(ai, j)
j
Luego “lo mejor de lo peor” será elegir : máx mín V(ai, j)
ai j


* Si V(ai, j) es pérdida , la peor pérdida será el valor máx V(ai, j)
j
Luego “lo mejor de lo peor” será elegir : mín máx V(ai, j)
ai j



CRITERIO DE SAVAGE


Supuesto : Es el criterio menos conservador. Es contrario a la aplicación
del criterio de Wald.

Deducción del Criterio :

Sea la matriz de pérdidas siguientes (en miles de $)

1 2
a1 11,000 900
a2 10,000 10,000


Qué acción decidir?

Aplicando el criterio de Wald, y como V(ai, j) son pérdidas ; se elegirá la acción ai relacionada con Minimax :

1 2 Max Mín
a1 11,000 900 11000
a2 10,000 10,000 10000 10000 (elegir a2)


Pero, intuitivamente se podría elegir “a1”, ya que existe la posibilidad de que si el estado futuro es 2, sólo se perdería 900.


Criterio :

Savage, rectifica el criterio Wald; construyendo una “matriz de deploración”, cuyos elementos se representan por r(ai, j). Posteriormente se aplica el criterio minimax(y no el maximin) a dicha matriz.


• Si V(ai, j) es ganancia o beneficio

máx V(ak, j) - V(ai, j)
ak
“Diferencia entre la mejor selección en la columna j y los valores de V(ai, j) en la misma columna”

• Si V(ai, j) es pérdida o costo:

V(ai, j) - mín V(ak, j)
ak


En la matriz anterior; como V(ai, j) son pérdidas :

1 2 1 2
a1 11,000 -10000 900 – 900  r(ai,j) : a1 1000 0
a2 10,000 -10000 10000 – 900 a2 0 9100


Finalmente se aplica el criterio minimax a la matriz r(ai, j) y la decisión es elegir a1.


CRITERIO DE HURWICZ

Supuesto : Considera actitudes, desde la mas optimista hasta la mas
pesimista.

- En una condición mas optimista se elegirá la acción que proporcione :

Max máx V(ai, j) , siendo V(ai, j) ganancias

- En una condición mas pesimista se elegirá la acción que proporcione :

Max mín V(ai, j) , siendo V(ai, j) ganancias




Criterios :

El criterio Hurwicz busca equilibrar el criterio mas optimista y el mas pesimista; para lo cual pondera las 2 condiciones a través de un parámetro , siendo 0 <  < face="arial">2.6 Árboles de decisión

- Es utilizado para estructurar el proceso de Toma de decisiones bajo
Incertidumbre.

- Variable de decisión: Son las alternativas disponibles

- Variable de estado : Estados de la naturaleza, estados futuros ,
ocurrencias probables.

- Los problemas de decisión que involucran una sola variable de decisión y una variable de estado pueden ser analizados usando las tablas de ganancias esperadas.

- El Arbol de decisión muestra la progresión natural o lógica que ocurre en el proceso de Toma de decisiones.

Nodo de Alternativas Nodo Ramas de
Decisión de decisión de azar estado Resultados


















1º. Para cada variable de decisión, que se denota por un cuadrado;
salen tantas líneas como alternativas disponibles existan.
2º. Los terminales de las ramas de decisión son usados como nodos de
comienzo de variables de estado
3º. De cada uno de los nodos redondos salen tantas ramas como



Ejemplo

La compañía ABC ha desarrollado una nueva línea de productos. La alta administración esta tratando de decidir una estrategia adecuada de mercadeo y producción. Las estrategias consideradas son: Agresiva, normal y precavida. Las condiciones esperadas en el mercado varían de fuerte a débil. La administración estima las siguientes ganancias netas en millones de dólares y se encuentran resumidas en la siguiente matriz de pagos.

Decisión Estados de la naturaleza Fuerte Estados de la naturaleza
Débil
A 30 -8
B 20 7
C 5 15

La administración estima en 0.45 y 0.55 las condiciones fuerte y débil del mercado respectivamente.


Se puede calcular el valor esperado para cada decisión y seleccionar la mejor:

La decisión óptima es seleccionar B.
Una manera mas conveniente de representar este problema es usando árboles de decisión, como en la figura Un nodo cuadrado representará un punto en el cual se debe tomar una decisión, y cada línea abandonando el cuadrado representará una posible decisión. Un nodo círculo representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas, y cada línea abandonando el círculo representará un posible acontecimiento







Árbol de decisión para la compañía ABC
El proceso de usar un árbol de decisión para encontrar la decisión óptima se denomina resolver el árbol. Para resolver el árbol se trabaja desde atrás hacia adelante. Esto se llama retornando el árbol. Primero, las ramas terminales se llevan hacia atrás calculando un valor esperado para
cada nodo terminal. Ver la figura

Árbol de decisión reducido para la compañía ABC
La Administración debe resolver un problema mas simple que es el de elegir la alternativa que lleva al valor esperado mas alto del nodo terminal. De esta forma un árbol de decisión provee una forma más gráfica de ver el problema. Se utiliza la misma información que antes y se realizan los mismos cálculos.
Preguntas para la segunda unidad:

1. ¿Que es un árbol de decisión?
2. Construya una tabla de contingencias para analizar
3. ¿Que es el valor esperado?
4. ¿Como podemos diferenciar las decisiones de riesgo de las decisiones con incertidumbre?
5. ¿Cuales son los principales criterios para decisión con incertidumbre?
6. Dada la información de unidades vendidas y sus respectivas probabilidades:

Unidades Vendidas Probabilidad de venta
49
50
51
0.25
0.50
0.25


El costo unitario es de 50 pesos y el precio de venta es de 80 pesos.

c) Elaborar la tabla de ganancias condicionales, considerando que las unidades no vendidas se descartan y se consideran como egresos.
d) Elaborar la tabla de ganancias esperadas. ¿Qué nivel de inventario recomendaría?

7. La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta aplicada a 100 amas de casa de la ciudad de Tijuana, donde se relaciona los hábitos recreativos con el ingreso anual.
La familia : Ingreso menor de 300000 Ingreso mayor de 300000 Numero total de familias
Ve la televisión 23 15 38
Lee revista 32 20 52
Ni ve televisión ni lee revista 5 5 10
Numero total de familias 60 40 100


Calcule las siguientes probabilidades:

a) probabilidad de que la persona seleccionada sea lectora de revistas?

b) Probabilidad de que la persona seleccionada sea lectora de revistas y tenga ingreso alto? 0.20

c) Si ya sabemos que tiene ingresos altos calcule la probabilidad de que se lectora de revistas?

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