INVESTIGACION de OPERACIONES

Monday, October 09, 2006

PLANEACIÓN DE LA MATERIA

CICLO ESCOLAR 2006-2006 I PERIODO Septiembre - Diciembre

Nombre del (la) Catedrático (a) Ing. M.A. Rigoberto Peña Durán

Licenciatura: Administración de Empresas
Asignatura: Investigación de operaciones

Turno: Vespertino Grado y Grupo: Sexto LAE
Clave Materia: LAE0630

OBJETIVO DE LA MATERIA: El alumno al final del curso utilizará los diferentes criterios para toma de decisiones , los principales modelos de planeación y contro y los enfoques de simulación. La elaboración de estructuras para obtener el punto de equilibrio Y facilitar la toma de decisiones dentro de la empresa.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN :
Trabajos 50%
Examenes 50%











Lunes: 8:00 A 1o:00

MARTES:8:00A10:0

JUEVES: 9:00 A10:00
VIERNES:7:00 A 8:00

BIBLIOGRAFÍA :
De Apoyo:

Thierau Robert INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Edit. Limusa


Obligatoria:

Eugene Hiller Frederck S. Y Liberman Gerald J INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Edit. Mc Graw Hill
Azarang Mohammad SIMULACIÓN Y ANLISIS DE MODELOS ESTOCASTICOS Edit.

FDA-05-01 Rev. 01
FECHA 28 al 2 de Sep.
I.-INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1.1 Historia de la investigación de operaciones.
1.2 Las computadoras y la investigación de operaciones.
1.3 Definición de modelo.
1.4 Formulación del modelo.
1.5 Función de los modelos en los proyectos de IO
1.6 Ventaja de los modelos
1.7 Desventaja de los modelos
1.8 Características principales de la IO
1.9 Definición de investigación de operaciones
1.10 Modelos cuantitativos que se abarcan.
FECHA 4 al 15 de Sep

2.- TEORÍA DE DECISIONES
2.1 Requisitos para la formulación de problemas de la teoría de decisiones.
2.2 Términos de probabilidad
2.3 Relaciones entre la independencia yla dependencia estadística.
2.4 Revisión de probabilidad.
2.5 Selección del criterio optimo.
2.6 Árboles de decisión.
FECHA 18 de Sep. Al 29 de Sep.

3.- TOMA DE DECISIONES
3.1 Requisitos para la toma de decisiones
3.2 Distribución discreta de probabilidad
3.2 Distribución continua de probabilidad
FECHA 2 al 13 de Oct

4.- PERT/TIEMPO
4.1 Requisitos para transformar una GRAFICA DE GANTT en una RED DE PERT
4.2 Problemas del PERT/TIEMPO
4.3 Paquetes PERT /TIEMPO para computadora
4.4 PERT/COSTO
4.5 Problemas de PERT/COSTO
4.6 Paquetes PERT/COSTO para computadora
4.7 Probabilidades de terminar un proyecto PERT
4.8 Ventajas del PERT
4.9 Desventajas del PERT
4.10 Costo de utilización de la técnica PERT
FECHA
16 de Oct. al 27 de Oct.
5.- Programación Lineal –Métodos gráfico y simplex
5.1 Requisitos para formulación de un problema de programación lineal
5.2Método gráfico de programación lineal
5.3 Método simplex
5.4 Precauciones a tomar con los métodos de programación lineal
FECHA 30 de Oct. al 3 de Nov.
6.- Programación dinámica
6.1 Requerimientos para la formulación de un problema de programación dinámica
6.2 Ajuste de producción y control de inventarios
6.3 Distribución de vendedores a diversas áreas de mercado
6.4 Compra bajo incertidumbre
6.5 Diferencias entre programación dinámica y programación lineal
FECHA 6 de Nov. al 17 de Nov
7.- Modelos de líneas de espera
7.1Requisitos para la formulación de un modelo de líneas de espera.
7.2 Sistemas de tiempos uniformes de llegada y de servicio de líneas de espera.
7.3 Modelos de líneas de espera en un solo canal.
7.4 Llegadas de poisson de un solo canal con servició exponencial.
7.5 Tasa de servicio de costo mínimo de un solo canal (aleatorio) en las líneas de espera.
7.6 Método de Montecarlo.
7.7 Distribuciones de llegadas y tiempos de espera de un solo canal.
7.8 Método de Montecarlo de varios canales usando números aleatorios.
FECHA
21 al 24 de Nov
8.-Simulación
8.1 Requisitos para al formulación de problemas de simulación
8.2 Método de juegos operacionales
8.3 Método de montecarlo
8.4 Método de simulación de sistemas
8.5 Método sistemático de computación encauzado a la simulación
8.6 Mejoramiento de operaciones de ensamble
8.7 Determinación de la magnitud de mano de obra para mantenimiento
8.8 Determinación de los niveles de de producción e inventarios
8.9 Mimimización del costo total de inventarios.
FECHA 27 de Nov. Al 5 de Dic.
Investigación de operaciones presente y futuro
9.1 Programación lineal entera.
9.2 Programación no lineal
9.3Programacion por metas
9.4 Análisis de riesgo
9.5 Programación heurística
9.6 Modelos de comportamiento o de conducta
9.7 La investigación de operaciones en el presente
9.8 La investigación de operaciones en el futuro


UNIDAD 1 INVESTIGACIÒN DE OPERACIONES

1.1 Historia de la Investigación de Operaciones (IO)

La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor, este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.


El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.
La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su habilidad para hacer planes a futuro.
En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones que se le presenten.
En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar sus decisiones.

Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales de miles de millones de pesos. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares. Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchas de las componentes de una organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente adecuado para el surgimiento de la INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares fueron de gran ayuda en una isla de campaña en el pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica, líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del término de la década de 1950.
Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de las computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones. Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama de computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para resolver problemas de investigación de operaciones.




1.2 Las computadoras y la investigación de operaciones
En los últimos años se ha desarrollado una Importante sinergia con el desarrollo de las tecnologías de la información y la comunicación.Existe una gran de paquetería de Software en el mercado como lo son, QSA, QSB, Modulo SOLVER de EXCEL, LINDO, EXTEND+MANUFACTURING, EXTEND +BPR, TORA que ayudan bastante en la solución de los algoritmos utilizados en métodos cuantitativos.




1.3 Definición de modelo
MODELO: ES EL CUERPO DE INFORMACIÓN RELATIVA A UN SISTEMA PARA FINES DE ESTUDIARLO.



Ejemplo de un modelo de supermercado: “Los clientes que necesitan varios artículos de consumo llegan a un supermercado, toma un carrito si lo hay disponible, realizan sus compras y luego forman una cola para salir por una de las distintas cajas. Después de pagar devuelven el carrito y salen del lugar.

ENTIDAD ATRIBUTO ACTIVIDAD
Clientes Números de artículos Llegar ,obtener
Carrito Disponibilidad Comprar, formar cola
Caja Cantidad, ocupación Devolver, salir
















1.4 Formulación del modelo
La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergia generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.
1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactúan normalmente un gran numero de variables.
2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real.
3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilización de funciones matemáticas.
4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o más de las técnicas desarrolladas por la IO.
5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.

6. Se implanta la solución en el sistema real.
La investigación de operaciones obtiene la solución del problema real indirectamente, y no como normalmente se intentaría pasando directamente del problema real a la solución real

1.5 Función de los modelos en los proyectos de investigación de operaciones.
Ayudar a los gerentes a desarrollar el conocimiento y las herramientas necesarias para comprender los problemas de decisión, traducirlos a términos analíticos y luego resolverlos.
1.6 Ventajas de los modelos
Ventajas de los modelos de la investigación de operaciones: Usualmente estos modelos ayudan a los administradores a tomar dos tipos de decisiones: estratégicas y operacionales.

Decisiones estratégicas: Son decisiones de una sola vez con consecuencias a largo plazo para la administración, por ejemplo: cambios en las políticas de administración, abrir nuevas instalaciones, reordenar inventarios a intervalos regulares de tiempo en lugar de que el nivel caiga por debajo de alguna cantidad especificada, etc. De hecho estas decisiones tienen gran impacto en la organización, por este motivo debe dedicarse tiempo en asegurar un modelo válido con datos lo más exactos posibles.
Decisiones operacionales: Los procesos afectados por estas decisiones corresponden a periodos más cortos, por ejemplo: programar de manera eficiente la fuerza de trabajo mensual, encontrar un plan de producción óptimo, minimizar de manera adecuada los costos de la producción, etc.
También se tienen otros beneficios de los modelos matemáticos en:
• Asignación óptima de recursos escasos.
• Evaluar la fortaleza de la solución óptima al realizar análisis de sensibilidad.
• Como evaluar el impacto de un cambio propuesto.
• Involucrar otras partes de la organización en la obtención de objetivos para beneficio de la organización total

1.7. Desventaja de los modelos
Al aplicar la I de O al estudio de sistemas y a la resolución de problemas se corre el riesgo de tratar de manipular los problemas para buscar que se ajusten a las diferentes técnicas, modelos de algoritmos establecidos en lugar de analizar los problemas y buscar resolverlos obteniendo las soluciones mejores, utilizando los métodos apropiados, es decir resolver el problema utilizando los métodos que proporcionan las mejoras soluciones y no buscar ajustar el problema a un método específico.

Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias

DESVENTAJAS ESPECÍFICAS
1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.
4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

1.8 Características principales de la IO.
1.8.1 Método científico

Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza
de la organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, la constitución, las telecomunicaciones, la planeación financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.

La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico (por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla. (Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones.

1.8.2 Trabaja con Modelos
La parte innovadora de la IO es sin duda alguna su enfoque modelístico, producto de sus creadores aunado a la presión de supervivencia de la guerra o la sinergia generada al combinarse diferentes disciplinas, una descripción del enfoque es la siguiente.
1. Se define el sistema real en donde se presenta el problema. Dentro del sistema interactúan normalmente un gran número de variables.
2. Se seleccionan las variables que norman la conducta o el estado actual del sistema, llamadas variables relevantes, con las cuales se define un sistema asumido del sistema real.
3. Se construye un modelo cuantitativo del sistema asumido, identificando y simplificando las relaciones entre las variables relevantes mediante la utilización de funciones matemáticas.
4. Se obtiene la solución al modelo cuantitativo mediante la aplicación de una o más de las técnicas desarrolladas por la IO.
5. Se adapta e imprime la máxima realidad posible a la solución teórica del problema real obtenida en el punto 4, mediante la consideración de factores cualitativos o no cuantificables, los cuales no pudieron incluirse en el modelo. Además se ajusta los detalles finales vía el juicio y la experiencia del tomador de decisiones.
6. Se implanta la solución en el sistema real.

La investigación de operaciones obtiene la solución del problema real indirectamente, y no como normalmente se intentaría pasando directamente del problema real a la solución real.
1.8.3 Trabaja con grupos interdisciplinarios
La investigación de operaciones ha tenido un impacto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la economía de varios países. Hay ahora más de 30 países que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS), en la que cada país cuenta con una sociedad de investigación de operaciones.
Sin duda, el impacto de la investigación de operaciones continuará aumentando. Por ejemplo, al inicio de la década de los 90, el U.S. Bureau of Labor Statistics predijo que la IO sería el área profesional clasificada como la tercera de más rápido crecimiento para los estudiantes universitarios en Estados Unidos, graduados entre 1990 y 2005. Pronosticó también que, para el año 2005, habría 100 000 personas trabajando como analistas de investigación de operaciones.


1.9 Definición de la investigación de operaciones
La investigación de operaciones.- Puede describirse como un procedimiento científico para tomar decisiones que comprenden en forma sistemática las diversas operaciones de los sistemas de las organizaciones.
QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? Como toda disciplina en desarrollo, la investigación de operaciones ha ido evolucionando no sólo en sus técnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definición sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engañosas, aquí seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas.


LA DEFINICIÓN DE CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF: LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ES LA APLICACIÓN, POR GRUPOS INTERDISCIPLINARIOS, DEL MÉTODO CIENTÍFICO A PROBLEMAS RELACIONADOS CON EL CONTROL DE LAS ORGANIZACIONES O SISTEMAS (HOMBRE-MÁQUINA), A FIN DE QUE SE PRODUZCAN SOLUCIONES QUE MEJOR SIRVAN A LOS OBJETIVOS DE LA ORGANIZACIÓN.
De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:

1. Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.
2. En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de auto corrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.
3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.
4. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:
La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.
EN RELACIÓN A ÉSTA DEFINICIÓN DEBEN DESTACARSE LOS SIGUIENTES ASPECTOS:

1. Generalmente se asocian los conceptos de dirección y administración a las empresas de tipo lucrativo, sin embargo, una empresa es un concepto más amplio, es algo que utiliza hombres, máquinas, materiales y dinero con un propósito específico; desde éste punto de vista, se considera como empresa desde una universidad hasta una armadora de automóviles.
2. Para tratar de explicar el comportamiento de un sistema complejo, el científico debe representarlo en términos de los conceptos que maneja, lo hace expresando todos los rasgos principales del sistema por medio de relaciones matemáticas. A esta representación formal se le llama modelo.
3. La esencia de un modelo es que debe ser predictivo, lo cual no significa predecir el futuro, pero si ser capaz de indicar muchas cosas acerca de la forma en que se puede esperar que un sistema opere en una variedad de circunstancias, lo que permite valorar su vulnerabilidad. Si se conocen las debilidades del sistema se pueden tomar cursos de acción agrupados en tres categorías: A) Efectuar cambios que lleven a la empresa o parte de ella a una nueva ruta; B) Realizar un plan de toma de decisiones; C) Instalar estrategias que generen decisiones. Cuando se aplica alguno de estos remedios, la investigación de operaciones nos ayuda a determinar la acción menos vulnerable ante un futuro incierto.
4. El objetivo global de la investigación de operaciones es el de apoyar al tomador de decisiones, en cuanto ayudarlo a cumplir con su función basado en estudios científicamente fundamentados.
1.10 Modelos cuantitativos que se abarcan
Toma de decisiones
Planeación y control de proyecto
Modelos de programación lineal para:
Planeación de la Producción
Asignación de personal
Transporte
Mercados
Modelos de inventarios y lineas de espera para:
Balanceo de costo y servicio

Modelos de simulaciónPara:
Inventarios
Estrategias de Inversión
Lineas de espera
Etc.


I TRABAJO DE AUTO EVALUACIÓN DE LA UNIDAD

1.- ¿Qué eventos históricos ocurrían durante el nacimiento de la investigación de operaciones?


2.- ¿Que es un modelo de investigación de operaciones?


3.- ¿Como se clasifican los modelos?


4.- ¿Que es un grupo interdisciplinario?


5.- ¿Como define la investigación de operaciones?


6.- ¿Que es un algoritmo? Investigar en la RED


7.- ¿Mencione algunos algoritmos utilizados en investigación de operaciones? Investigar en la RED


8.- ¿Que es un método heurístico? Investigar en la RED


9.- ¿Que es la simulación? Investigar en la RED


10.- ¿Mencione algunos ejemplos de aplicación de la simulación? Investigar en la RED


11.- ¿Cuáles son los pasos de la metodología de la investigación de operaciones?

12.- Mencione tres aplicaciones de la IO en el campo administrativo


13.- Mencione una limitación de la investigación de operaciones

14.- Mencione tres métodos meta heurísticos. Investigar en la RED

15.- Explique el siguiente paso de la metodología de la investigación de operaciones:

ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES SOBRE LA SOLUCIÓN

16. Método desarrollado en 1947 por George Dantzing

17. Mencione los pasos para la creación de un modelo de investigación de operaciones

UNIDAD 2 TEORÍA DE DECISIONES


2.1 Requisitos para la formulación de problemas de la teoría de decisiones

En economía y administración existen ciertos tipos de problemas en los que no es posible obtener muestras (información objetiva) para estimar ciertas características de la población. Es necesario recurrir a la información de una persona (información subjetiva).

La teoría de decisiones puede definirse como el análisis lógico y cuantitativo de todos los factores que afectan los resultados de una decisión en un mundo incierto.


Se resuelven según:

1) INFORMACION PERFECTA: Toma de decisiones en condiciones de certeza. Se conocen los datos (disponibilidad completa)

2) INFORMACION IMPERFECTA O PARCIAL : Dos situaciones :

a) Decisiones con Riesgo: Disponibilidad intermedia de datos. Los datos se representan a través de las funciones de probabilidad

b) Decisiones con Incertidumbre: No se disponen de datos :

b.1. No se conocen los datos y no puede determinarse una función de probabilidad

b.2. Si el decisor además tiene un oponente inteligente se formularán teorías de Juegos.

Observaciones:

- El propósito de la teoría de decisiones es incrementar la probabilidad de obtener buenos resultados en un mundo de incertidumbre.

- El “decisor” es el individuo o conjunto de individuos, que tiene la responsabilidad de comprometer o asignar recursos de una organización.

- La calidad de la decisión dependerá de si esta es no consistente con las alternativas, información y preferencias del decisor.


DECISIONES CON RIESGO

(*) Cuando las decisiones a futuro no dependen de lo que se tiene ahora: Evaluación de alternativas de una sola etapa.

Criterios :
a) Valor esperado
b) Valor esperado y Varianza combinados
c) Nivel de aceptación conocido
d) Ocurrencia mas probable de un estado futuro

(*) Evaluación de alternativas de múltiples etapas: Criterio del Árbol de decisión.

DECISIONES CON INCERTIDUMBRE

Los criterios se diferencian por el grado de “conservador “del decisor, esto es; según asuma una posición entre Optimista y Pesimista.

Criterios :
a) Laplace
b) Wald
c) Savage
d) Hurwicz


Supuesto para aplicar los criterios: El decisor no tiene un oponente inteligente. Se dice que la “naturaleza” es el oponente y que no existe razón para creer que la naturaleza se proponga provocar pérdidas al decisor.
Si existe un oponente inteligente, se aplicará otros criterios correspondientes a la teoría de juegos.

2.2 Términos de probabilidad
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.
Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.
Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.

Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su intersección es el conjunto vacío).

Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.

Probabilidad
Como hemos comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se realiza un experimento aleatorio.
La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD, "Organización Mundial de Dados").
El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
¿Cómo se mide la probabilidad?
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
P(A) = Casos favorables / casos posibles



2.3 Relaciones entre la independencia y la dependencia estadística
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.
Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes.
Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección
Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacío y por lo tanto no hay que restarle nada).
Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)
Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida:
Las probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente fórmula:


P (B/A) es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se haya dado el suceso A.
P (B ^ A) es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A) es la probabilidad a priori del suceso A

La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:
La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A.
La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es:

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:

Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a la probabilidad de B.
P (A y B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.


2.4 Revisión de probabilidades
La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta aplicada a 100 familias de la ciudad de Tijuana, donde se relaciona el ingreso familiar con la compra de productos alimenticios especializados












Calcule las siguientes probabilidades:

a) probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora? 0.38

b) Probabilidad de que la familia seleccionada sea compradora y tenga ingreso alto? 0.20

c) Si ya sabemos que es compradora calcule la probabilidad de que tenga ingresos altos? =20/40=0.5


2.5 Selección del criterio optimo

Criterio del Valor Esperado

Se busca maximizar el beneficio esperado (o minimizar el costo esperado). Se supone que el procedimiento de decisión se repite un número suficientemente grande de veces. La esperanza implica que la misma decisión debería repetirse un número suficientemente grande de veces antes de obtener el valor neto calculado por la fórmula de esperanza.

Si X es ganancia: Seleccionar la alternativa de valor Máx Suma xf(x)
Si X es pérdida: Seleccionar la alternativa de valor Mín Suma xf(x)

Ejemplo : Dada la información de unidades vendidas y sus respectivas
probabilidades :






El costo unitario es de 5 pesos y el precio de venta es de 10 pesos.

a) Elaborar la tabla de ganancias condicionales, considerando que las unidades no vendidas se descartan y se consideran como egresos.
b) Elaborar la tabla de ganancias esperadas. ¿Qué nivel de inventario recomendaría?

• Solución :

a) Tabla de Ganancias condicionales :



Cálculos :

( D , O )
( 25 , 25 ) = 25(10) – 25(5) = 125
( 25 , 26 ) = 25(10) – 25(5) - 1(5) = 120, se descarta una
( 25 , 27 ) = 25(10) – 25(5) - 2(5) = 115, se descartan dos
( 25 , 28 ) = 25(10) – 25(5) - 3(5) = 110, se descartan tres

(D, O )
( 26 , 25 ) = 25(10) – 25(5) = 125, Se vende lo que se oferta
( 26 , 26 ) = 26(10) – 26(5) = 130,
( 26 , 27 ) = 26(10) – 26(5) - 1(5) = 125, se descartan una
( 26 , 28 ) = 26(10) – 26(5) - 2(5) = 120, se descartan dos
.......................
( 28 , 27 ) = 27(10) – 27(5) = 135
( 28 , 28 ) = 28(10) – 28(5) = 140

b) Tabla de Ganancias Esperadas

25 26 27 28
25 26 27 28
Dem. Prob. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E
25
26
27
28 0.15
0.30
0.40
0.15 125
125
125
125 18.75
37.50
50.0
18.75 120
130
130
130 78
39
52
19.5 115
125
135
135 17.25
37.25
54.0
20.25 110
120
130
140 16.5
36.0
52.0
21.0
125.0 128.5 129.0 125.5

Dem. Probb. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E. G.C. G.E
25 0.15 125 18.75
26 0.30 125 37.50
27 0.40 125 50
28 0.15 125


50.0
18.75 120
130
130
130 78
39
52
19.5 115
125
135
135 17.25
37.25
54.0
20.25 110
120
130
140 16.5
36.0
52.0
21.0
125.0 128.5 129.0 125.5

La mayor ganancia esperada es 129. Por lo tanto se decidirá abastecer u ofertar 27 unidades.


MATRIZ DE PAGOS

La información utilizada al tomar decisiones con incertidumbre, se resume en una Matriz:

e1 e2 ...... en

a1 V(a1, e1) V(a1, e2) ...... V(a1, en)

a2 V(a2, e1) V(a2, e2) ...... V(a2, en)
..... ..................................................
am V(am, e1) V(am, e2) ...... V(am, en)


Donde : ai (i = 1,2,....,m): Representan las acciones posibles
Una acción representa una decisión posible

ej (j = 1,2,...n) : Representan los estados futuros posibles
Son los eventos futuros inciertos

V(ai, ej) : Representa el resultado asociado a cada acción y
estado futuro; el cual puede ser una ganancia o pérdida; resultado
de tomar la i-ésima acción cuando ocurre el j-ésimo estado.



Criterio de Laplace.

CRITERIO DE LAPLACE

Supuesto : Las probabilidades de ocurrencia de los estados futuros son Iguales:

P(e1) = P(e2) = ......... = P(en) = 1/n

Luego, si se asignan probabilidades (iguales), el problema de incertidumbre se convierte en uno de Riesgo.


Criterios :
n
* Si V(ai, ej) es ganancia; elegir ai : Max  1/n  V(ai, j)
ai j = 1

n
* Si V(ai, j) es pérdida ; elegir ai : Mín  1/n  V(ai, j)
ai j = 1



CRITERIO DE WALD (Minimax-Maximin)

Supuesto : Está basado en lograr “lo mejor de las peores condiciones
posibles” . Es el criterio más conservador.

Criterios :

* Si V(ai, j) es ganancia , la menor ganancia será el valor mín V(ai, j)
j
Luego “lo mejor de lo peor” será elegir : máx mín V(ai, j)
ai j


* Si V(ai, j) es pérdida , la peor pérdida será el valor máx V(ai, j)
j
Luego “lo mejor de lo peor” será elegir : mín máx V(ai, j)
ai j



CRITERIO DE SAVAGE


Supuesto : Es el criterio menos conservador. Es contrario a la aplicación
del criterio de Wald.

Deducción del Criterio :

Sea la matriz de pérdidas siguientes (en miles de $)

1 2
a1 11,000 900
a2 10,000 10,000


Qué acción decidir?

Aplicando el criterio de Wald, y como V(ai, j) son pérdidas ; se elegirá la acción ai relacionada con Minimax :

1 2 Max Mín
a1 11,000 900 11000
a2 10,000 10,000 10000 10000 (elegir a2)


Pero, intuitivamente se podría elegir “a1”, ya que existe la posibilidad de que si el estado futuro es 2, sólo se perdería 900.


Criterio :

Savage, rectifica el criterio Wald; construyendo una “matriz de deploración”, cuyos elementos se representan por r(ai, j). Posteriormente se aplica el criterio minimax(y no el maximin) a dicha matriz.


• Si V(ai, j) es ganancia o beneficio

máx V(ak, j) - V(ai, j)
ak
“Diferencia entre la mejor selección en la columna j y los valores de V(ai, j) en la misma columna”

• Si V(ai, j) es pérdida o costo:

V(ai, j) - mín V(ak, j)
ak


En la matriz anterior; como V(ai, j) son pérdidas :

1 2 1 2
a1 11,000 -10000 900 – 900  r(ai,j) : a1 1000 0
a2 10,000 -10000 10000 – 900 a2 0 9100


Finalmente se aplica el criterio minimax a la matriz r(ai, j) y la decisión es elegir a1.


CRITERIO DE HURWICZ

Supuesto : Considera actitudes, desde la mas optimista hasta la mas
pesimista.

- En una condición mas optimista se elegirá la acción que proporcione :

Max máx V(ai, j) , siendo V(ai, j) ganancias

- En una condición mas pesimista se elegirá la acción que proporcione :

Max mín V(ai, j) , siendo V(ai, j) ganancias




Criterios :

El criterio Hurwicz busca equilibrar el criterio mas optimista y el mas pesimista; para lo cual pondera las 2 condiciones a través de un parámetro , siendo 0 <  < face="arial">2.6 Árboles de decisión

- Es utilizado para estructurar el proceso de Toma de decisiones bajo
Incertidumbre.

- Variable de decisión: Son las alternativas disponibles

- Variable de estado : Estados de la naturaleza, estados futuros ,
ocurrencias probables.

- Los problemas de decisión que involucran una sola variable de decisión y una variable de estado pueden ser analizados usando las tablas de ganancias esperadas.

- El Arbol de decisión muestra la progresión natural o lógica que ocurre en el proceso de Toma de decisiones.

Nodo de Alternativas Nodo Ramas de
Decisión de decisión de azar estado Resultados


















1º. Para cada variable de decisión, que se denota por un cuadrado;
salen tantas líneas como alternativas disponibles existan.
2º. Los terminales de las ramas de decisión son usados como nodos de
comienzo de variables de estado
3º. De cada uno de los nodos redondos salen tantas ramas como



Ejemplo

La compañía ABC ha desarrollado una nueva línea de productos. La alta administración esta tratando de decidir una estrategia adecuada de mercadeo y producción. Las estrategias consideradas son: Agresiva, normal y precavida. Las condiciones esperadas en el mercado varían de fuerte a débil. La administración estima las siguientes ganancias netas en millones de dólares y se encuentran resumidas en la siguiente matriz de pagos.

Decisión Estados de la naturaleza Fuerte Estados de la naturaleza
Débil
A 30 -8
B 20 7
C 5 15

La administración estima en 0.45 y 0.55 las condiciones fuerte y débil del mercado respectivamente.


Se puede calcular el valor esperado para cada decisión y seleccionar la mejor:

La decisión óptima es seleccionar B.
Una manera mas conveniente de representar este problema es usando árboles de decisión, como en la figura Un nodo cuadrado representará un punto en el cual se debe tomar una decisión, y cada línea abandonando el cuadrado representará una posible decisión. Un nodo círculo representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas, y cada línea abandonando el círculo representará un posible acontecimiento







Árbol de decisión para la compañía ABC
El proceso de usar un árbol de decisión para encontrar la decisión óptima se denomina resolver el árbol. Para resolver el árbol se trabaja desde atrás hacia adelante. Esto se llama retornando el árbol. Primero, las ramas terminales se llevan hacia atrás calculando un valor esperado para
cada nodo terminal. Ver la figura

Árbol de decisión reducido para la compañía ABC
La Administración debe resolver un problema mas simple que es el de elegir la alternativa que lleva al valor esperado mas alto del nodo terminal. De esta forma un árbol de decisión provee una forma más gráfica de ver el problema. Se utiliza la misma información que antes y se realizan los mismos cálculos.
Preguntas para la segunda unidad:

1. ¿Que es un árbol de decisión?
2. Construya una tabla de contingencias para analizar
3. ¿Que es el valor esperado?
4. ¿Como podemos diferenciar las decisiones de riesgo de las decisiones con incertidumbre?
5. ¿Cuales son los principales criterios para decisión con incertidumbre?
6. Dada la información de unidades vendidas y sus respectivas probabilidades:

Unidades Vendidas Probabilidad de venta
49
50
51
0.25
0.50
0.25


El costo unitario es de 50 pesos y el precio de venta es de 80 pesos.

c) Elaborar la tabla de ganancias condicionales, considerando que las unidades no vendidas se descartan y se consideran como egresos.
d) Elaborar la tabla de ganancias esperadas. ¿Qué nivel de inventario recomendaría?

7. La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta aplicada a 100 amas de casa de la ciudad de Tijuana, donde se relaciona los hábitos recreativos con el ingreso anual.
La familia : Ingreso menor de 300000 Ingreso mayor de 300000 Numero total de familias
Ve la televisión 23 15 38
Lee revista 32 20 52
Ni ve televisión ni lee revista 5 5 10
Numero total de familias 60 40 100


Calcule las siguientes probabilidades:

a) probabilidad de que la persona seleccionada sea lectora de revistas?

b) Probabilidad de que la persona seleccionada sea lectora de revistas y tenga ingreso alto? 0.20

c) Si ya sabemos que tiene ingresos altos calcule la probabilidad de que se lectora de revistas?

UNIDAD 3 TOMA DE DECISIONES

La toma de decisiones está basada en el análisis de los datos y la información
para tomar decisiones acertadas, es mejor basarse en la frialdad y objetividad de los datos, mas que intuiciones, deseos y esperanzas. Los datos, plantean varios problemas. El modo de obtenerlos, su fiabilidad y darles una interpretación adecuada.
Otro problema que presentan los datos, es su aceptación por parte de los miembros de la organización. Los datos, son fríos y basados en hechos reales. Por tanto, son objetivos. Quien no quiera aceptar los resultados, debe de realizar un esfuerzo para mejorar por si mismo los datos, hasta obtener el resultado esperado o exigido.
No hay que perder el tiempo, ni perderse en recriminaciones si los datos son negativos. Los miembros de la organización, han de autoanalizarse con la ayuda del resto del colectivo para intentar mejorar los resultados. Conseguir las metas y objetivos marcados en el plan de la organización. No hay que tener reparo en tratar estos temas, ni sentir vergüenza. El intercambio de información, positiva o negativa, debe de fluir por la organización. Han de señalarse los defectos y poner un pronto remedio sin perjudicar a ningún miembro o proceso de la organización. Los hechos, son los hechos. Y es responsabilidad de todos aceptarlos y ponerles remedio.

3.1 Requisitos para la toma de decisiones

1. Debe haber más de una alternativa
2. Debe estar bastante claro si el problema de toma de decisiones, es determinístico, de riesgo o de incertidumbre.
3. Se debe disponer de un método objetivo para evaluar la alternativa.

En el resto de la unidad se analizan las principales distribuciones de probabilidad que se utilizan en tima de decisiones bajo riesgo.


3.2 Distribuciones discretas de probabilidad
Distribución binomial
X = 0, 1, 2,..........N
Media = p
Varianza = np



Distribución de Poisson
x = 0, 1, 2,..........

P(x) no tiene forma cerrada
Media = Variancia =
Aplicaciones de la distribución de Poisson:
• En modelos de líneas de espera, para describir el número de llegadas o salidas (eventos) en un período dado.
• Presenta una relación con la distribución exponencial
Así, si x representa el número de eventos de Poisson, en un período dado, entonces el intervalo de tiempo entre eventos sucesivos es exponencial.


3.2 Distribuciones continuas de probabilidad
Objetivo : Familiarizar al alumno con las formas y propiedades de las distribuciones, con el fin de poder usarlas en los métodos y/o técnicas para la toma de decisiones.
Notación: f(x) = Función de densidad de probabilidad (f.d.p) de una v.a.c.(contínua)
F(x) = Función de densidad acumulada (F.D.A) de una v.a.c. (contínua)
Distribución Uniforme
a < media =" ,Variancia">0
Distribución acumulada: x>0
Media = , Varianza =
Aplicaciones: Teoría de colas (Relacionada con la distribución de Poisson)
Distribución Normal
Aplicaciones: - Es la base de la estadística inferencial y del análisis de regresión.
Sirve para aproximar muchas poblaciones a través de los valores normales estándar.

Media = desviación estándar =
Los valores de distribución acumulada se leen en tablas o en los asistentes de funciones estadísticas de Excel.
Distribución Triangular Se utiliza para estimar la probabilidad en flujos efectivo aleatorio para los proyectos de inversión.


Distribución acumulada
Distribución acumulada


Media =

Varianza =

Aplicaciones: La distribución triangular se define luego que se conocen los 3 parámetros a, b y c.
• La distribución triangular es útil como una aproximación inicial en situaciones par las que no se dispone de datos confiables.
• Nos permite estimar las duraciones de las actividades de un proyecto usando las tres estimaciones: optimista, mas probable, y pesimista.


Sabiendo que la demanda aleatoria de gasolina durante un período de tiempo se comporta con arreglo a una ley normal de media 150000 litros y desviación estándar 10000 litros, determinar la cantidad de gasolina que hay que tener dispuesta a la venta en dicho período para poder satisfacer la demanda con una probabilidad de 0,95.

Ejemplo Numérico: Los pacientes de la sala emergencia llegan a un hospital a una tasa de 0,033 por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos pacientes lleguen durante los próximos 30 minutos?
La tasa de llegada durante 30 minutos es  = (30)(0,033) = 1. Por lo tanto,
P (2 llegadas) = [12 /(2!)] e-1 = 18%
La media y la desviación estándar de la distribución son:
 =  = 1, and  =  1/2 = 1,

Aplicaciones a la toma de decisiones financieras:


Distribución de probabilidad del valor presente neto:
Valor esperado del valor presente neto:


Varianza del valor presente neto:

Los valores de los coeficientes están dados por:



Donde es la tasa de inflación.







Ejemplo: Cierta empresa desea analizar un proyecto de inversión que promete generar los siguientes flujos de efectivo probabilísticos:

año E pesimista E probable E Optimista
0 -140 -100 -80
1 30 40 60
2 35 40 45
3 30 40 50
4 25 35 45
5 20 40 60


También considere que los flujos de efectivo de un periodo a otro son independientes. Finalmente considere que esta empresa utiliza una trema de 20% para evaluar sus proyectos de inversión y que la alta administración solo acepta proyectos que tengan una probabilidad de al menos 90% de que el VPN sea mayor que cero:.

año Cj MEDIA E(VPN) Cj^2 VAR Var (VPN)
0 -1,00 107 -107 1,00 156 156
1 0,83 43 36 0,69 39 27
2 0,69 40 28 0,48 4 2
3 0,58 40 23 0,33 17 6
4 0,48 35 17 0,23 17 4
5 0,40 40 16 0,16 67 11
13.1 205
Probabilidad = NORMDIST(13.1;0;14.31;1)

DE= 14,31
Pr= 0,8241

Conclusión: El proyecto se rechaza














Ejemplo: Cierta empresa desea entrar en un negocio de alto grado de riesgo y estima una inversión inicial de 90 millones con un flujo de efectivo distribuido uniformemente de 30, 40, 50, 60, y 70 millones por los siguientes 5 años. La empresa utiliza una trema de 20% y espera una tasa de inflación media anual del 10%. La política de riesgo de la empresa es aceptar un proyecto solo si la probabilidad de que el valor presente neto sea mayor o igual a cero se encuentra por arriba del 90%.

Año FEAI uniforme Cj Media E(VPN) Cj^2 Var VAR(VPN)
0 $90,00 $90,00 $90,00 $90,00 $90,00 -1 $90,00 -$90,00 1,00 0 $0,00
1 $30,00 $40,00 $50,00 $60,00 $70,00 0,76 $50,00 $37,88 0,57 200 $114,78
2 $30,00 $40,00 $50,00 $60,00 $70,00 0,57 $50,00 $28,70 0,33 200 $65,88
3 $30,00 $40,00 $50,00 $60,00 $70,00 0,43 $50,00 $21,74 0,19 200 $37,81
4 $30,00 $40,00 $50,00 $60,00 $70,00 0,33 $50,00 $16,47 0,11 200 $21,70
5 $30,00 $40,00 $50,00 $60,00 $70,00 0,25 $50,00 $12,48 0,06 200 $12,45 PROB
$27,26 $252,62 0,9568
$15,89

Probabilidad = NORMDIST(27,26;0; $15,89;1)

DE= $15,89
Pr= 0,9568

UNIDAD 4 PERT/TIEMPO

4.1 Requisitos para transformar una GRAFICA DE GANTT en una RED DE PERT: Para utilizar PERT, se necesita dos tipos de información para cada actividad en el proyecto. Los requerimientos de secuencia para una actividad deben ser conocidos antes de iniciar cada actividad específica, además se requiere de un estimado de tiempo.
La simbología utilizada es una flecha para indicar la secuencia y un círculo o cuadro para indicar la actividad.

4.2 Problemas del PERT/TIEMPO: En un problema PERT-TIEMPO es de interés determinar la ruta crítica para el proyecto, con el fin simplificar el control del proyecto al momento de trabajar sobre el.

Se entiende como ruta critica el camino de mayor duración de entre todos los posibles que se encuentran en la red de proyecto.

Ejemplo la tabla siguiente muestra las actividades para realizar un proyecto, junto con su secuencia y tiempos estimados.


Actividad Tiempo estimado (Días) Antecesores inmediatos
A 2 Ninguno
B 3 A
C 4 A
D 6 B, C
E 2 Ninguno
F 8 E


A) Elabore el diagrama de red



b) Calcule los tiempos para las actividades y las holguras

ES Tiempo para iniciar la actividad más pronto
EF Tiempo para terminar la actividad más pronto
LS Tiempo para tardío para iniciar la actividad
LF Tiempo para tardío para finalizar la actividad

Los tiempos de pronto inicio y pronta terminación se calculan acumulando los tempos de las actividades hacia delante.












4.3 Paquetes PERT /TIEMPO para computadora

Entre los paquetes para computadora el más utilizado es el denominado PROJECT de MS, QSA, QSB etc.







4.4 PERT/COSTO: Cuando se trabaja sobre un proyecto pueden surgir retrazo en la terminación de algunas de las actividades críticas, lo cual obliga al administrador del proyecto a tomar la decisión de intercambiar tiempo por costo. Y el problema clave a la hora de hacer la planeación del proyecto es determinar de antemano que actividades son susceptibles de ser intercambiadas para que el proyecto se termine en el tiempo original planeado ya un menor costo.

4.5 Problemas de PERT/COSTO

Suponga que para el problema anterior se tiene la siguiente lista de actividades con sus tiempos y costos respectivos.

Act. Tiempo estimado
programa regular Tiempo estimado Programa de choque Costo estimado
Programa
regular Costo estimado
Programa de choque Antecesores inmediatos
A 2 1.5 100 150 Ninguno
B 3 2 200 250 A
C 4 3 300 375 A
D 6 4.5 500 740 B, C
E 2 1.5 180 210 Ninguno
F 8 5.5 1000 1200 E
2280 2925






Cuando queremos reducir el tiempo de una actividad, debemos concentrarnos en las actividades que en ese momento son criticas para pueda reducirse la duración del proyecto y de esas actividades criticas debemos escoger las de menor costo.

Por ejemplo para reducir el tiempo del proyecto de 12 días a 11 días nos conviene reducir la actividad C porque solo significa un costo incremental de 75 por día, mientras que las actividad a solo puede reducirse medio día a un costo de 50 y la actividad D se puede reducir un día a un costo de 160 o medio día a un costo de 80.
Y de esta manera se buscarían más combinaciones de actividades críticas para seguir reduciendo el tiempo de duración del proyecto.

4.6 Paquetes PERT/COSTO para computadora

Entre los paquetes para computadora el más utilizado es el denominado PROJECT de MS, QSA, QSB etc.

4.7 Probabilidades de terminar un proyecto PERT
Cuando los tiempos de las actividades son inciertos se toman tres estimaciones de tiempo que se denominan:

Optimista: a , Más probable: m y Pesimista: c

Con las cuales se calcula una media y una desviación estándar para cada actividad, para después suponer una distribución normal o beta o triangular y de esta manera convertir la incertidumbre en riesgo.
Las formulas utilizadas son las siguientes:



Done t es la media y es al desviación estándar.

Posteriormente la desviación estándar del proyecto con la siguiente formula.

Calcular la variable normal estándar mediante:



Ejemplo la tabla siguiente muestra las actividades para realizar un proyecto, junto con su secuencia y tiempos estimados.
Act. a m b

A 1 2 3 2 .33 0.11
B 1 3 5 3 .67 0.45
C 2 4 6 4 .67 0.45
D 4 6 8 6 .67 0.45
E 1 2 3 2 .33 0.11
F 1 8 15 8 2.33 5.43


Con los tiempos promedios se encuentra la ruta crítica, y se calcula su desviación estándar.







a) Determine la probabilidad de terminar el proyecto en 10,12 y 14 días.
B) Determine el tiempo que se debe asignar al proyecto para tener una probabilidad de 0.8 de terminarlo a tiempo

Probabilidad igual a 0.977



4.8 Ventajas del PERT: Las principales ventajas de trabajar con los modelos de redes es que se puede determinar con facilidad cuales son las actividades críticas de un proyecto y concentrar los esfuerzos en ellas para facilitar la gestión del proyecto.
Se puede manejar una proyecto de cualquier tamaño lo caula es muy difícil de manejar con las técnicas graficas de Gantt.

4.9 Desventajas del PERT: La desventaja es que requiere análisis matemático o la utilización de un software para este propósito y mes mucho más costosa que una grafica de Gantt.


4.10 Costo de utilización de la técnica PERT: La inversión necesaria implica:
Disposición de software y hardware y el especialista en proyectos, la cual es recuperable siempre que se trate de proyectos de gran escala.

Ejercicios para autoevaluación:

1. Los siguientes datos representan las actividades necesarias para realizar una tesis.
Actividad Descripción Actividad prerrequisito Tiempo esperado
semanas
A Investigación de literatura Ninguna 6
B Formulación del tema Ninguna 5
C Selección del comité B 2
D Propuesta formal C 2
E Selección de la compañía y contacto A, D 2
F Reporte de avances D 1
G Investigación formal A, D 6
H Recopilación de datos E 5
I Análisis de datos G, H 6
J Conclusiones I 2
K Borrador sin( conclusiones ) G 4
L Documento final J, K 3
M Examen oral L 1

a) Trace un diagrama de red que ilustre los requerimientos de la secuencia para el conjunto de actividades de la tabla. Asegurar de reflejar las actividades con círculos o cuadros y los requerimientos de secuencia con flechas.

b) Calcular los ES, EF, LS y LF para cada actividad, suponiendo que el EF el LF para la última actividad son los mismos. ¿Cuál es el tiempo mínimo para la culminación del proyecto?

c) Listar las actividades que están en la ruta critica.


2. Una cadena de tiendas de ventas al detalle de electrodomésticos y ferretería. La empresa está considerando la instalación de un nuevo sistema de computador para liquidar la nomina, contabilizar las ventas (pagar las compras y enviar las facturas) y el registro y control del inventario. El contador de la empresa está tratando de elaborar un cronograma para las diferentes tareas involucradas en la puesta en marcha del nuevo sistema.
La empresa planea contratar programadores para desarrollar los programas de de contabilidad y de nomina. Sin embargo, va a contratarse una firma de consultoría externa para hacer el programa de control de inventarios. Ciertos aspectos del programa de control de inventario dependen del programa de contabilidad y por eso tienen que desarrollarse después de haber terminado este último.
La terminación de cada programa implica implica trabajo preliminar, final, prueba, revisión, redacción de los manuales y aplicación. El nuevo gerente de operaciones elaboró la lista de tareas (actividades), que se muestran en la tabla que deben ejecutarse, junto con los tiempos necesarios para realizarlas y las actividades que deben completarse antes de que una actividad determinada pueda comenzar.

a) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el sistema de computador con los tres programas este completo? ¿Cuáles actividades son críticas para cumplir este plazo?
b) Suponer que la gerencia esta interesada solo en minimizar el tiempo para aplicar los programas de contabilidad y de nomina. ¿Cuánto tardará esto? ¿Cuáles actividades son criticas en este caso?


Act. Descripción Actividad antecesora Tiempo para completarse en meses
A Analizar sistemas alternativos de computador y pedir el computador al fabricante Ninguno 2
B Espera el despacho del equipo por parte del fabricante A 4
C Contratar programadores de sistemas A 1
D Hacer el trabajo preliminar de trabajo de nomina C 1.5
E Hacer el trabajo preliminar del programa de contabilidad C 2.5
F Hacer el trabajo final de los programas de nomina y contabilidad D, E 2
G Contratar a un consultor externo para trabajar en el programa de control de inventario A 1
H Hacer el trabajo final del programa de control de inventario E, G 2
I Hacer las pruebas preliminares de programas de nomina y contabilidad en la maquina alquilada F, H 2
J Hacer pruebas preliminares de programas de nomina y contabilidad en la maquinaria arrendada F 0.5
K Revisar los programas de nomina y contabilidad J 0.5
L Instalar y verificar el computador enviado por el fabricante B 0.5
M Probar los programas de nomina y contabilidad en el computador instalado K, L 0.5
N Preparar los manuales que describen los programas de nomina y contabilidad J 1
O Aplicar los programas de nomina y contabilidad M, N 0.5
P Probar el programa de control de inventarios en el computador instalado I, L 0.5
Q Preparar los manuales que describen los programas de control de inventarios I 1
R Aplicar el programa de control de inventarios P, Q 0.5
S Fin O, R 0



3. En el proyecto que aquí se considera, la actividad que se divide puede ocupar un amplio rango de tiempo de reducción. El costo por día de la reducción está dado por:

Act. Tiempo estimado
programa
regular Tiempo estimado
Programa de choque Costo estimado
Programa
regular Costo estimado
Programa de choque Antecesores inmediatos
A 3 1 100 150 Ninguno
B 4 2 200 250 Ninguno
C 3 1 300 375 A
D 2 1 500 740 E
E 2 1 180 210 A, B
F 4 3 1000 1200 C, D
2280 2925

a) Determine la vía menos costosa para terminar el proyecto en 11 días, en 10 días, en 9 días y en 8dias.


UNIDAD 5. PROGRAMACIÓN LINEAL- METODO GRÁFICO Y SIMPLEX
Introducción a la PL

Muchas personas clasifican el desarrollo de la programación lineal entre los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX, su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado miles o millones de pesos a muchas compañías o negocios, incluyendo empresas medianas en los distintos países industrializados del mundo; su aplicación a otros sectores de la sociedad se está ampliando con rapidez. Una proporción muy grande de los cálculos científicos en computadoras está dedicada al uso de la programación lineal.
¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede manejar. Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima). Con más precisión, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de un país; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta la selección de los patrones de envío; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de radiación, etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las mismas.
La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo matemático) entre todas las alternativas de solución.
Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la programación lineal tiene muchas otras posibilidades. de hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un problema de programación lineal. Aún más, se dispone de un procedimiento de solución extraordinariamente eficiente llamado método simplex, para resolver estos problemas, incluso los de gran tamaño. Estas son algunas causas del tremendo auge de la programación lineal en las últimas décadas.




5.1 Requisitos para formulación de un problema de programación lineal

SUPOSICIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
PROPORCIONALIDAD
La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad , como lo representa el término en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción funcional es proporcional al nivel de la actividad xj, en la forma en que lo representa el término en la restricción. En consecuencia, esta suposición elimina cualquier exponente diferente a 1 para las variables en cualquier término de las funciones (ya sea la función objetivo o la función en el lado izquierdo de las restricciones funcionales) en un modelo de programación lineal.
ADITIVIDAD
Establece que la entrada y salida de un recurso en particular al conjunto de actividades, deben ser la misma cantidad; o sea, que las actividades transforman los recursos y no los crean o destruyen. Esta suposición garantiza que la contribución total tanto a la función objetivo como a las restricciones, es igual a la suma de las contribuciones individuales. Cuando en un problema dado no se tenga la aditividad puede recurrirse al empleo de otras técnicas de la programación matemática, dependiendo de cada caso en particular.
Cada función en un modelo de programación lineal (ya sea la función objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.
DIVISIBILIDAD
Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales.




LIMITACIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELO DETERMINÍSTICO
El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: , y ; de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica, o realizarse un análisis de sensibilidad.
MODELO ESTÁTICO
En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de PL, puede incluirse la temporalidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables.
MODELO QUE NO SUBOPTIMIZA
Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denomina programación lineal por metas.


MODELO GENERAL DE PL
Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Algunos ejemplos de recursos son dinero y tipos especiales de maquinaria, equipo, vehículos y personal. Los ejemplos de actividades incluyen inversión en proyectos específicos, publicidad en un medio determinado y el envío de bienes de cierta fuente a cierto destino. En cualquier aplicación de programación lineal, puede ser que todas las actividades sean de un tipo general (como cualquiera de los ejemplos), y entonces cada una correspondería en forma individual a las alternativas específicas dentro de esta categoría general.
El tipo más usual de aplicación de programación lineal involucra la asignación de recursos a ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso está limitada, de forma que deben asignarse con todo cuidado. La determinación de esta asignación incluye elegir los niveles de las actividades que lograrán el mejor valor posible de la medida global de efectividad.
Ciertos símbolos se usan de manera convencional para denotar las distintas componentes de un modelo de programación lineal. Estos símbolos se enumeran a continuación, junto con su interpretación para el problema general de asignación de recursos a actividades.


z= valor de la medida global de efectividad, variable de desempeño o función objetivo.
C =Matriz de costos o ganancias, esta formada por los elementos que representan los costos o ganancias unitarias en cada actividad o variable de decisión individual.
X= Matriz de Variables de decisión o variables independientes, esta formada por los elementos que representan cada actividad o variable de decisión individual.

B = Matriz de recursos totales o de requerimientos totales, está formada por los elementos Que representan la cantidad de recursos o de requerimientos totales de cada tipo.
A = Matriz de coeficientes tecnológicos, está formada por los elementos
Que representan la cantidad del recurso i consumida por cada unidad de la actividad j o variable .






PLANTEAMIENTOS DE MODELOS DE PL
RACY’S DEPARTMENT STORE: La tesorería de la tienda por departamentos Racy’s está haciendo su plan financiero para el siguiente semestre, de septiembre a febrero.
Debido a la temporada de Navidad, Racy’s necesita grandes cantidades de dinero, particularmente en los meses de noviembre a diciembre; una gran cantidad de ingreso de efectivo se presenta entre enero y febrero, cuando los clientes pagan sus cuentas de Navidad, Estos requerimientos se sintetizan en la tabla (en miles de dólares).
La tesorera de Racy’s tiene tres fuentes de recursos a corto plazo para satisfacer las necesidades de la tienda.


SEP OCT NOV DIC ENE FEB
Saldos de cuentas por cobrar
(a comienzo de mes) $70 $50 $70 $120 $100 $50
Pagos planeados de los suministros
(suponiendo que se toma el descuento) 80 90 100 60 40 50
Necesidades de efectivo para las
operaciones 30 60 90
Superávit en efectivo de las
operaciones 20 30 150

Estas son:

PIGNORAR LAS CUENTAS POR COBRAR. Un banco local le prestará recursos a Racy’s, sobre una base mes a mes, contra la pignoración del saldo de las cuentas por cobrar al comienzo de cada mes. El préstamo máximo es de 75% de las cuentas por cobrar en un mes determinado. El costo del préstamo es de 1.5 % mensual sobre la cantidad prestada.

POSTERGAR El PAGO DE SUMINISTROS. El pago de los suministros puede retrasarse un mes. Por ejemplo, los US $100,000 planeados para noviembre, podrían aplazarse hasta diciembre y Racy”s podría utilizar ese dinero para satisfacer las necesidades de noviembre. Cuando los pagos por suministros se posterguen de esta manera, Racy’s pierde 3% del descuento que normalmente recibe por pronto pago.

UTILIZAR UN PRESTAMO A CORTO PLAZO. Un banco está dispuesto a prestarle a Racy’s cualquier cantidad de dinero entre US $40,000 y US $1000,000, por un período de seis meses. El préstamo de una cantidad fija tendría que tomarse a comienzo de septiembre y se pagaría en su totalidad a finales de febrero. No es posible aumentar El préstamo a pagar parte del mismo durante El período. El costo de los préstamos sería del 1% mensual, pagadero cada mes.
Si la empresa tiene exceso de fondos, cualquier período, éstos pueden invertirse en bonos del gobierno a corto plazo que producen un rendimiento de 0.5% por mes.
El objetivo de la tesorera es minimizar El costo neto del interés para Racy’s, a la vez que satisfacer sus necesidades de efectivo.
Formular la decisión financiera a corto plazo que se necesita en este caso, como un problema de programación lineal.







1- FUNCION DE OBJETIVO
Minimizar Z = Costo del dinero = Interés

2.- DEFINIR LAS RESTRICCIONES




























3.- DEFINIR LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Xijkl = cantidad que se pide prestado en el mes i de la fuente j para cubrir obligaciones k en el mes l.


























PROBLEMA NUMERO 2.2

2-2.

FORMULACION DEL PROBLEMA
1.- DEFINIR LA FUNCION
MAX. Z= Cx
DONDE Z= Ingreso por concepto total de interés


2.- DEFINIR LAS RESTRICCIONES











3.- DEFINIR LA VARIABLE DE DECISION











S.A.







X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 1 500 000

Todas las x > 0



Máx. Z = .15X1 + .12X2 + 0.09X3 + 0.10X4 + 0.07X5

S.A.








Xj > 0

Todas las variables deben ser iguales o mayores a 0 “cero”








1.2-1. Una fabrica produce cuatro artículos: A, B, C, y D. Cada unidad del producto A requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y diez unidades monetarias de inventario en proceso. Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y cinco unidades monetarias de inventario en proceso. Cada unidad e producto C requiere de dos horas y media de maquinado, dos horas y media de montaje y dos unidades monetarias de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna de montaje y doce unidades monetarias de inventario en proceso.
La fabrica dispone de 120,000 horas de tiempo de maquinado y 160,000 horas de tiempo de montaje. Además, no puede tener más de un millón de unidades monetarias de inventario en proceso.
Cada unidad del producto A genera una utilidad de 40 unidades monetarias, cada unidad del producto B genera una utilidad de 24 unidades monetarias, cada unidad del producto C genera una utilidad de 36 unidades monetarias y cada unidad del producto D genera una utilidad de 23 unidades de monetarias. No puede venderse más de 20,000 unidades del producto A, 16,000 unidades del producto C, y puede venderse la cantidad que se requiera de los productos B y D. sin embargo, deben producir y vender por lo menos 10,000 unidades del producto D para cumplir con los requerimientos de un contrato.
Sobre estas condiciones, formular un problema de programación lineal. El objetivo de la fábrica es maximizar la utilidad resultante de la venta de los cuatro productos.











3.2.3

Una fábrica vende dos tipos de productos diferentes A y B.
La información sobre el precio de venta y el costo por unidad incremental es la siguiente:

PRODUCTO A PRODUCTO B
Precio de Venta 60 40
Costo incremental 30 10
Utilidad incremental 30 30



Los dos productos se fabrican dentro de un proceso común y se venden en dos mercados diferentes. El proceso de producción tiene una capacidad de 30 mil horas de mano de obra, se requiere de 3 horas para elaborar una unidad de A y 1 hora para producir una unidad de B.
El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que los mas que pueden venderse de A son 8 mil unidades y de B 12 mil unidades.
De acuerdo con esas limitaciones los productos pueden venderse en cualquier combinación. Formular de programación lineal







5. PROBLEMA

Se desea seleccionar una estrategia de publicidad para llegar a dos tipos de clientes: amas de casa de familias con ingresos anuales superiores a US $25,000 y amas de casa de familias con ingresos anuales inferiores a US $25,000. Se considera que las personas del primer grupo compraran el doble de un producto con respecto a las personas del segundo grupo. La meta es maximizar las compras, para lo cual, puede hacerse una publicidad en televisión o en una revista; una unidad de publicidad en la televisión cuesta US $ 40,000 y llega a 20,000 personas del primer grupo y a 80,000 del segundo, aproximadamente. Una unidad de publicidad en la revista cuesta US $24,000 y llega a 60,000 personas del primer grupo y a 30,000 del segundo. La empresa necesita por lo menos, 6 unidades de publicidad en televisión y no más de 12 unidades de publicidad en la revista. El presupuesto de publicidad es de US $360,000.

Formular este problema como un caso de programación lineal, definiendo todas las variables que se utilicen.









6. Problema 2.9 El American Safety Coucil debe asignar su presupuesto nacional para El seguimiento año fiscal. Las decisiones irrevocables, concernientes a la asignación de los recursos para las diferentes áreas programadas, ya se tomaron. Por ejemplo, se destinó un total de US $ 110,000 para la prevención de accidentes automovilísticos y la reducción de daño a la propiedad.
Sin embargo, las decisiones detalladas de asignación deben hacerse con relación a proyectos específicos diseñados para contribuir al cumplimiento del programa. En El caso de la prevención de accidentes automovilísticos y la reducción de daños a la propiedad, la tabla contiene los proyectos recomendados para los analistas del consejo, junto con las cifras pertinentes. Quines toman las decisiones en El consejo requieren de ayuda para tomar una decisión de asignación presupuestal (o elección de proyecto y magnitud). En respuesta a la pregunta relacionada con cuál de las dos misiones específicas es más importante, ellos dijeron: “Es una pregunta difícil De un lado, la vida humana es sagrada y no puede comprarse por ninguna cantidad de dinero. Del otro lados, si hay dos opciones para salvar El mismo número de vidas, naturalmente preferiríamos El proyecto que también cuente con la menor cantidad de daño a la propiedad”
Cuando se les preguntó específicamente sobre la alternativa entre vidas salvadas y daño a la propiedad, dijeron: “Es una pregunta difícil, Sin embargo, estamos conscientes de que una agencia del gobierno tiene, con fines de asignación de recursos internos, un valor de dinero implícito pro vida humana salvada de USA 300,000 (pensemos que también hay otra agencia que utiliza esta cifra para tomar sus decisiones acerca de agregar seguridad adicional a su equipo).
Con base en la información anterior, formular un modelo de PL cuya solución represente una asignación óptima de los USA 110,000 presupuestados. No olvidar definir todas las variables utilizadas. No se necesita resolver El problema.

TABLA
Proyecto Limite superior
De gastos del proyecto
(medido en dólares) Accidentes que se espera prevenir por cada US$1,000 invertidos Reducción que se espera en daños a la propiedad por cada US$1,000 invertidos
1. Publicidad acerca del cinturón de seguridad USA 80,000 0.33 0
2. Investigación sobre mejoras en El diseño de las autopistas 20,000 0.25 USA 20,000
3. Investigación sobre mejorasen El diseño de los automóviles 75,000 0.15 30,000
4. Dinero invertido en cabildear para aumentar las penas estatales por conducir en estado de embriaguez 100,000 0.27 10,000




7. Problema El sistema escolar de Gotham City tiene tres escuelas que atienden las necesidades de cinco áreas. La capacidad de cada una de las escuelas es:
Escuela (matrículas máximas)
A 4000
B 3000
C 2000
Total 9000



El tamaño (número de estudiantes de secundaria) y la mezcla étnica de cada vecindario son como sigue:

Tipo Costo de compra Costo operativo (ton-milla) Capacidad (ton-millas por mes)
Remolque US$ 30000 US$ 0.56 10000
Camión 16000 0.64 8000
Camioneta 10,000 0.80 6,000 -

Vecindario Num. De estudiantes % de estudiantes de minorías
1 2100 30
2 2400 80
3 1300 20
4 800 10
5 1600 20
total 8200 -

Las distancias (en millas) de cada vecindario hasta cada escuela son las siguientes:

Vecindario
Escuela 1 2 3 4 5
A 1.2 0.4 2.6 1.4 2.4
B 0.8 2.0 0.5 0.7 3.0
C 1.3 2.2 1.6 2.0 0.2

Un juez federal dictaminó que ninguna escuela secundaria en la ciudad puede tener más de 50% y no menos de 30% de alumnos matriculados pertenecientes a grupos minoritarios. Los estudiantes que viajan desde cada vecindario tienen la misma mezcla étnica de todo el vecindario. Se requiere diseñar un plan de transporte escolar que minimice el total de estudiante-millas recorridas en autobús, a la vez que cumpla con las exigencias del juez en cuanto a integración y, al mismo tiempo, que garantice que ningún estudiante recorra en autobús más de 2.5 millas.
Formular un modelo de programación lineal para resolver este problema.







8. PROBLEMA 2.13 Un fabricante elabora un producto en tres plantas y lo distribuye al mercado a través de cuatro bodegas de servicio. Se cuenta con los siguientes datos:

BODEGA PRECIO DE VENTA
(POR UNIDAD) DEMANDA ANUAL
(UNIDADES)
1
2
3
4 US $1.00
1.10
1.00
0.60 40000
10000
20000
25000


PLANTA COSTO DE VARIABLES DE
PRODUCCIÓN CAPACIDAD ANUAL
(UNIDADES)
A
B
C US $0.40
0.35
0.45 40000
30000
45000

DESDE BODEGA
HASTA
1 2 3 4
A US $ 0.20 US $ 0.20 US $ 0.30 US $ 0.30
PLANTA B 0.20 0.10 0.35 0.40
C 0.45 0.30 0.20 0.20


A. El gerente de marketing desea satisfacer todas las demandas al mínimo costo. Formular este problema para alcanzar decisiones óptimas de producción y de embarque. Tomar a XA2 como la cantidad producida en la fábrica. A para despachar a la bodega 2, y así sucesivamente. No hay que resolver el problema.

B. El vicepresidente de la fábrica desea cumplir solo con aquellas demandas que son incrementalmente rentables. Es decir, quiere maximizar las utilidades o los ingresos menos los costos de producción y transporte. Modificar el planteamiento de programación lineal en A, para resolver este problema en forma optima. No hay que resolverlo.












9. PROBLEMA 2.16 La empresa Emory Aluminum Company lamina y vende papel de aluminio de varios tamaños . Los clientes pueden ordenar rollos de papel de aluminio de 24 pulgadas, 20 pulgadas, 12 pulgadas u 8 pulgadas de ancho. La hoja estándar se fabrica en un ancho de 54 pulgadas y los tamaños mas pequeños se cortan del rollo estándar. Existen muchas formas de cortar las medidas mas angostas, como se presenta en la tabla 2-14.


Método de corte


Ancho 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
24 pulgadas 2 1 1 1 1
20 pulgadas 1 2 2 1 1 1
12 pulgadas 1 2 1 2 1 4 2
8 pulgadas 1 2 3 1 1 2 4 3 6
Desperdicio
(en pulgadas) 6 2 2 6 6 2 6 2 6 2 6 6 6


Por ejemplo, utilizando el método 3, del rollo estándar puede cortarse un rollo de 24 pulgadas de ancho, otro de 12 pulgadas y dos de 8 pulgadas. Esto deja dos pulgadas de desperdicio [54-24-12-2(8)=2]. Debido a que en el proceso de cortes se genera algo de desperdicio, no es posible cortar ciertas combinaciones (no se han intentado). Todos los rollos que se cortan tienen un ancho estándar de 54 pulgadas, y todos los pedidos se hacen en los tamaños estándar que se presentan en la tabla. Además, todos los pedidos tienen una longitud estándar (la longitud de un rollo completo).
Emory ha recibido los siguientes pedidos para el mes de julio:



Ancho Rollos ordenados

24 pulgadas 330
20 pulgadas 120
12 pulgadas 480
8 pulgadas 160


¿Cómo debe cortar Emory los rollos para cumplir con estos pedidos?
_Formular un modelo de programación lineal para el problema, pero sin resolverlo.











11. PROBLEMA 2.20 El director de servicios para pasajeros de Ace Air Lines esta tratando de decidir cuantos auxiliares de vuelo nuevos debe contratar y entrenar durante los siguientes seis meses. El número requerido de auxiliares por horas de vuelo son:

Mes Horas Necesarias
Enero 8000
Febrero 7000
Marzo 8000
Abril 10000
Mayo 9000
Junio 12000


El problema se complica por dos factores. Se necesita de un mes para entrenar a los auxiliares de vuelo antes de que puedan trabajar en los vuelos regulares. De ahí que la contratación debe hacerse un mes antes de que se presente la necesidad. En segundo lugar, entrenar a los nuevos auxiliares exige el mismo tiempo de los auxiliares que ya están entrenados. Se necesitan cerca de 100 horas de atención regular por cada nuevo auxiliar, durante el mes de entrenamiento. En otras palabras, el número de horas disponibles para servicio de vuelo de los auxiliares habituales se reducen en 100 horas por cada nuevo auxiliar que se entrene.

El director de los servicios para pasajeros no esta preocupado por el mes de enero porque cuenta con 60 auxiliares disponibles. Las normas de la empresa establecen que un auxiliar de vuelo no puede trabajar más de 150 horas al mes. Esto significa que el director cuenta con un máximo de 9000 horas en enero, 1000 por encima de sus necesidades. (A los auxiliares no se les despide en tales casos, solo trabajan menos horas).

Los registros de la empresa demuestran que 10% de los auxiliares dejan sus trabajos cada mes por diferentes razones.

El costo para Ace Air Lines de un auxiliar de vuelo regular es de US $1500 mensuales por salarios y prestaciones sociales, sin considerar la cantidad de horas trabajadas (de hecho, no trabajan mas de 150 horas). El costo de un auxiliar en entrenamiento es de US $700 mensuales por salarios y prestaciones sociales.

Formular con este planteamiento un problema de programación lineal diseñado para resolver al mínimo costo la situación del director de servicios de pasajeros. No hay que resolver el problema, pero si identificar todos los símbolos utilizados.


















5.2 MÉTODO GRÁFICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL

El método grafico es relativamente sencillo y se aplica cuando los problemas de programación lineal tienen solamente dos variables pero sin importar la cantidad de restricciones.

El método consiste graficar las restricciones, delimitar el área factible, encontrar los puntos de intersección alrededor del área factible, evaluar la función objetivo en los puntos alrededor del área factible y escoger la función de valor objetivo mas grande si el problema es de maximizar o la función objetivo de menor valor si la función es de minimizar.


Ejemplo:

Un fabricante de muebles produce mesas y sillas, obteniendo una utilidad marginal de 5 dólares por cada una de ellas. Si el fabricante dispone diariamente de 960 unidades de material, 720 horas de mano de obra y ya esta comprometido a entregar por lo menos 20 mesas todos los días formule el problema de programación lineal sabiendo que para producir una mesa se requieren 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra mientras que para una silla se requieren 8 horas de material y 12 horas de mano de obra. Resolver el problema por el método grafico.

El problema una vez formulado queda de la siguiente manera:

Maximizar:




Una vez graficadas las restricciones queda la siguiente figura:

Material (0,120), (80.0)
Mano de obra (0,120), (60,0)
Mercado (20.0)




Área factible

Los puntos alrededor de del área factible son:
(20,0), (80,0), (60,30) y (20,50) todos en el orden (Mesas, Sillas) posteriormente se calculan los valores de la función objetivo z para estos cuatro puntos.



La polución optima es producir 60 mesas y 30 sillas para obtener una utilidad de 450 dólares.

















5.3 Método simplex
Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Comienza en el origen y se mueve de un punto a otro siempre mejorando la función objetivo.
El procedimiento manual consiste en estandarizar el modelo de programación lineal, encontrar una solución inicial, probar la optimidad de la función.

Los procedimientos de computadora (QSA, QSB, LINDO y EXCEL-SOLVER) facilitan bastante las operaciones en la solución de un modelo de programación lineal.

Ejemplo: Resolver el siguiente modelo de programación lineal usando EXCEL-SOLVER.
Maximizar:




Capturar el problema en el formato:




Resultado después de ejecutar las formulas:







Entrar al modulo Solver estando posicionado en la celada objetivo:



Agregar las celdas cambiantes, donde se encuentra la solución inicial:







Agregar las restricciones:




Una vez agregadas todas las restricciones la pantalla queda así:



Enseguida en opciones seleccionar modelo lineal y asumir no negativos:





Aceptar “OK” en opciones y regresar a la pantalla anterior para resolver “Solve” y se mostrará la siguiente pantalla indicando que pudo o no pudo encontrar una solución optima.




Pantalla con la solución optima:




Producir 60 mesas y 30 sillas para tener una ganancia optima de 450 dólares.

5.4 Precauciones a tomar con los métodos de programación lineal

La principal precaución a tomar con los métodos de programación lineal es que las relaciones deben ser lineales.

Asegurar que todas las relaciones y variables relevantes se incluyan en el modelo.